Q. दो धनात्मक पूर्णांकों का HCF 18 और LCM 540 है। यदि एक संख्या 90 है, तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।
Ans. दो संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM। दूसरी संख्या = (18 × 540) / 90 = 108।
Q. सिद्ध कीजिए कि √3 अपरिमेय संख्या है।
Ans. मान लें √3 = p/q, जहाँ p और q सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। तब p² = 3q², जिससे 3, p को विभाजित करता है। p = 3k रखने पर q भी 3 से विभाज्य निकलता है। यह p और q के सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। अतः √3 अपरिमेय है।
Q. यदि 2^a × 2^b = 256 और a तथा b धनात्मक पूर्णांक हैं, तो a + b का मान क्या होगा?
Ans. 2^a × 2^b = 2^(a+b) = 256 = 2^8। अतः a + b = 8।
Q. यदि x + 1/x = 4 है, तो x³ + 1/x³ ज्ञात कीजिए।
Ans. x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ − 3(x + 1/x) = 64 − 12 = 52।
Q. यदि किसी द्विघात समीकरण के मूल α और β हैं तथा α + β = 7 और αβ = 10 है, तो समीकरण बनाइए।
Ans. मूलों का योग 7 और गुणनफल 10 है। अतः समीकरण x² − 7x + 10 = 0 होगा।
Q. बहुपद x³ − 6x² + 11x − 6 के सभी शून्यक ज्ञात कीजिए।
Ans. x³ − 6x² + 11x − 6 = (x−1)(x−2)(x−3)। अतः शून्यक 1, 2 और 3 हैं।
Q. यदि 3x + 2y = 16 तथा x − y = 2 है, तो x और y ज्ञात कीजिए।
Ans. x = y + 2 रखने पर 3y + 6 + 2y = 16। अतः y = 2 और x = 4।
Q. समांतर श्रेणी 4, 9, 14, 19, ... के प्रथम 25 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
Ans. a = 4, d = 5, n = 25। S = n/2 × [2a + (n−1)d] = 25/2 × (8 + 120) = 1600।
Q. यदि किसी त्रिभुज की भुजाएँ 13 सेमी, 14 सेमी और 15 सेमी हैं, तो उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Ans. अर्धपरिमाप s = (13+14+15)/2 = 21। हेरॉन सूत्र से क्षेत्रफल = √[21×8×7×6] = 84 वर्ग सेमी।
Q. एक नियमित बहुभुज का प्रत्येक बाह्य कोण 30° है। उसकी भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।
Ans. नियमित बहुभुज के बाह्य कोणों का योग 360° होता है। भुजाओं की संख्या = 360/30 = 12।
Q. किसी वृत्त की त्रिज्या 14 सेमी है। उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Ans. क्षेत्रफल = πr² = (22/7) × 14 × 14 = 616 वर्ग सेमी।
Q. बिंदुओं (−3, 4) और (5, −2) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
Ans. d = √[(5+3)² + (−2−4)²] = √(64+36) = 10 इकाई।
Q. यदि sin θ = 5/13 तथा θ न्यूनकोण है, तो tan θ ज्ञात कीजिए।
Ans. समकोण त्रिभुज में लंब 5 और कर्ण 13 होने पर आधार = √(169−25) = 12। अतः tan θ = 5/12।
Q. दो निष्पक्ष पासे एक साथ फेंके जाते हैं। योग 8 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Ans. योग 8 के अनुकूल परिणाम (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) हैं। कुल परिणाम 36 हैं। प्रायिकता = 5/36।
Q. 5 अलग-अलग पुस्तकों में से 2 पुस्तकें कितने तरीकों से चुनी जा सकती हैं?
Ans. चयन की संख्या = ⁵C₂ = 5!/(2!3!) = 10।
Q. यदि 3^n = 243 है, तो n का मान ज्ञात कीजिए।
Ans. 243 = 3⁵। अतः n = 5।
Q. समीकरण x² − 8x + 16 = 0 के मूलों की प्रकृति बताइए।
Ans. विविक्तकर D = b² − 4ac = 64 − 64 = 0। अतः दोनों मूल वास्तविक और समान हैं। प्रत्येक मूल 4 है।
Q. एक आयत का परिमाप 34 सेमी और लंबाई 10 सेमी है। उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Ans. 2(l+b)=34 से l+b=17। चौड़ाई = 17−10 = 7 सेमी। क्षेत्रफल = 10×7 = 70 वर्ग सेमी।
Q. यदि किसी संख्या को 7 से भाग देने पर शेष 3 आता है, तो उसके वर्ग को 7 से भाग देने पर शेष क्या होगा?
Ans. संख्या 7k+3 के रूप में है। उसका वर्ग 49k²+42k+9 होगा। पहले दो पद 7 से विभाज्य हैं और 9 को 7 से भाग देने पर शेष 2 है।
Q. 1 से 100 तक की सभी धनात्मक पूर्ण संख्याओं में से यादृच्छिक रूप से एक संख्या चुनी जाती है। 5 से विभाज्य संख्या मिलने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Ans. 1 से 100 तक 5 से विभाज्य संख्याएँ 20 हैं। कुल संख्याएँ 100 हैं। प्रायिकता = 20/100 = 1/5।