Q. संख्या सिद्धांत क्या है?
Ans. संख्या सिद्धांत गणित की वह शाखा है जिसमें पूर्णांकों, अभाज्य संख्याओं, विभाज्यता और शेषफल जैसे गुणों का अध्ययन किया जाता है।
Q. अभाज्य संख्या किसे कहते हैं?
Ans. जिस प्राकृतिक संख्या के ठीक दो अलग-अलग धनात्मक भाजक 1 और स्वयं वह संख्या हों, उसे अभाज्य संख्या कहते हैं।
Q. क्या 1 एक अभाज्य संख्या है?
Ans. नहीं। संख्या 1 का केवल एक धनात्मक भाजक है, इसलिए वह अभाज्य संख्या नहीं है।
Q. संयुक्त संख्या किसे कहते हैं?
Ans. 1 से बड़ी वह प्राकृतिक संख्या जिसके दो से अधिक धनात्मक भाजक हों, संयुक्त संख्या कहलाती है।
Q. अंकगणित का मौलिक प्रमेय क्या है?
Ans. प्रत्येक 1 से बड़ी पूर्णांक संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है और यह गुणनखंडन क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है।
Q. 84 का अभाज्य गुणनखंडन कीजिए।
Ans. 84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7।
Q. दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) क्या है?
Ans. वह सबसे बड़ी धनात्मक पूर्णांक संख्या जो दोनों संख्याओं को पूर्णतः विभाजित करती है, उनका HCF कहलाती है।
Q. 18 और 30 का HCF ज्ञात कीजिए।
Ans. 18 के भाजक और 30 के भाजकों में सबसे बड़ा समान भाजक 6 है। इसलिए HCF = 6।
Q. दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) क्या है?
Ans. वह सबसे छोटी धनात्मक पूर्णांक संख्या जो दोनों संख्याओं से पूर्णतः विभाजित होती है, उनका LCM कहलाती है।
Q. 12 और 18 का LCM ज्ञात कीजिए।
Ans. 12 = 2² × 3 और 18 = 2 × 3²। इसलिए LCM = 2² × 3² = 36।
Q. दो धनात्मक पूर्णांकों a और b के HCF तथा LCM में क्या संबंध है?
Ans. HCF(a,b) × LCM(a,b) = a × b।
Q. क्या दो क्रमागत पूर्णांक हमेशा सह-अभाज्य होते हैं?
Ans. हाँ। दो क्रमागत पूर्णांकों का HCF हमेशा 1 होता है, इसलिए वे सह-अभाज्य होते हैं।
Q. सह-अभाज्य संख्याएँ किसे कहते हैं?
Ans. ऐसी दो धनात्मक पूर्णांक संख्याएँ जिनका HCF 1 हो, सह-अभाज्य कहलाती हैं।
Q. क्या प्रत्येक सम अभाज्य संख्या 2 होती है?
Ans. हाँ। 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है, क्योंकि प्रत्येक अन्य सम संख्या 2 से विभाजित होती है।
Q. यूक्लिड विभाजन प्रमेय का कथन लिखिए।
Ans. किसी धनात्मक पूर्णांक a और b के लिए, जहाँ b > 0 है, अद्वितीय पूर्णांक q और r होते हैं ताकि a = bq + r और 0 ≤ r < b।
Q. क्या √2 एक परिमेय संख्या है?
Ans. नहीं। √2 अपरिमेय संख्या है; इसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता।
Q. यदि किसी संख्या का अंतिम अंक 0 हो, तो वह किन संख्याओं से विभाजित होती है?
Ans. दशमलव पद्धति में अंतिम अंक 0 होने पर संख्या 10 से विभाजित होती है और इसलिए 2 तथा 5 दोनों से विभाजित होती है।
Q. 3 से विभाज्यता का नियम क्या है?
Ans. यदि किसी संख्या के अंकों का योग 3 से विभाजित होता है, तो वह संख्या भी 3 से विभाजित होती है।
Q. 96 को 7 से भाग देने पर शेषफल कितना होगा?
Ans. 96 = 7 × 13 + 5। इसलिए शेषफल 5 है।
Q. यदि किसी अभाज्य संख्या p से a² विभाजित होता है, तो p और a के बीच क्या संबंध होगा?
Ans. यदि अभाज्य संख्या p, a² को विभाजित करती है, तो p, a को भी विभाजित करती है।