Q. द्विघात समीकरण की परिभाषा दीजिए।
Ans. जिस समीकरण में चर की उच्चतम घात 2 हो और उसे ax² + bx + c = 0 के रूप में लिखा जा सके, जहाँ a ≠ 0, वह द्विघात समीकरण कहलाता है।
Q. द्विघात समीकरण का मानक रूप क्या है?
Ans. द्विघात समीकरण का मानक रूप ax² + bx + c = 0 है, जहाँ a, b और c वास्तविक संख्याएँ तथा a ≠ 0 हैं।
Q. द्विघात समीकरण का विविक्तकर क्या होता है?
Ans. द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 का विविक्तकर D = b² - 4ac होता है।
Q. द्विघात सूत्र लिखिए।
Ans. द्विघात समीकरण के मूल x = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a) से प्राप्त होते हैं।
Q. विविक्तकर धनात्मक होने पर मूल कैसे होते हैं?
Ans. जब D > 0 होता है, तब समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं।
Q. विविक्तकर शून्य होने पर मूल कैसे होते हैं?
Ans. जब D = 0 होता है, तब दोनों मूल वास्तविक और समान होते हैं।
Q. विविक्तकर ऋणात्मक होने पर वास्तविक मूलों की संख्या कितनी होती है?
Ans. जब D < 0 होता है, तब समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते हैं।
Q. x² - 5x + 6 = 0 को हल कीजिए।
Ans. x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0, अतः x = 2 या x = 3।
Q. 2x² - 7x + 3 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए।
Ans. 2x² - 7x + 3 = (2x - 1)(x - 3) = 0, अतः x = 1/2 या x = 3।
Q. द्विघात समीकरण के मूलों और गुणांकों में क्या संबंध है?
Ans. यदि मूल α और β हों, तो α + β = -b/a तथा αβ = c/a होता है।
Q. x² + 6x + 9 = 0 को हल कीजिए।
Ans. x² + 6x + 9 = (x + 3)² = 0, अतः दोनों मूल -3 हैं।
Q. गुणनखंड विधि क्या है?
Ans. समीकरण के बाएँ पक्ष को गुणनखंडों में बाँटकर प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने की विधि गुणनखंड विधि कहलाती है।
Q. पूर्ण वर्ग विधि क्या है?
Ans. समीकरण को इस प्रकार रूपांतरित करना कि चर वाला व्यंजक किसी पूर्ण वर्ग के रूप में लिखा जा सके, पूर्ण वर्ग विधि कहलाती है।
Q. x² - 9 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए।
Ans. x² = 9, इसलिए x = 3 या x = -3।
Q. x² + 4x + 1 = 0 का विविक्तकर ज्ञात कीजिए।
Ans. D = 4² - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12।
Q. यदि मूल 4 और 5 हों, तो द्विघात समीकरण बनाइए।
Ans. मूलों का योग 9 और गुणनफल 20 है। अतः समीकरण x² - 9x + 20 = 0 है।
Q. यदि मूलों का योग 7 और गुणनफल 10 हो, तो समीकरण बनाइए।
Ans. समीकरण x² - 7x + 10 = 0 होगा।
Q. x² - 4x + 4 = 0 के मूलों की प्रकृति बताइए।
Ans. D = (-4)² - 4(1)(4) = 0, इसलिए दोनों मूल वास्तविक और समान हैं।
Q. आयत की लंबाई x + 2 और चौड़ाई x होने पर क्षेत्रफल का सूत्र लिखिए।
Ans. क्षेत्रफल = x(x + 2) = x² + 2x वर्ग इकाई।
Q. द्विघात समीकरण के उपयोग का एक उदाहरण दीजिए।
Ans. क्षेत्रफल, गति-दूरी-समय तथा संख्या संबंधी समस्याओं में अज्ञात मान ज्ञात करने के लिए द्विघात समीकरण का उपयोग किया जाता है।