Q. अभाज्य गुणनखंडन की सहायता से 360 का कुल धनात्मक भाजकों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Ans. 360 = 2³ × 3² × 5¹। भाजकों की संख्या = (3+1)(2+1)(1+1) = 24।
Q. यदि किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंडन 2⁴ × 3² × 7 है, तो उसके कुल धनात्मक भाजक कितने होंगे?
Ans. कुल भाजक = (4+1)(2+1)(1+1) = 30।
Q. दो संख्याओं का HCF 12 और LCM 180 है। यदि एक संख्या 36 है, तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।
Ans. पहली संख्या × दूसरी संख्या = HCF × LCM। दूसरी संख्या = (12 × 180) / 36 = 60।
Q. सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।
Ans. मान लें √5 = p/q, जहाँ p और q सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। तब p² = 5q², इसलिए 5, p को विभाजित करता है। p = 5k रखने पर q² भी 5 से विभाज्य होगा। इससे p और q दोनों 5 से विभाज्य होंगे, जो सह-अभाज्य होने के विरुद्ध है। अतः √5 अपरिमेय है।
Q. यदि x + 1/x = 3 है, तो x² + 1/x² का मान ज्ञात कीजिए।
Ans. (x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x²। अतः x² + 1/x² = 9 − 2 = 7।
Q. यदि x − 1/x = 2 है, तो x² + 1/x² का मान ज्ञात कीजिए।
Ans. (x − 1/x)² = x² − 2 + 1/x²। अतः x² + 1/x² = 4 + 2 = 6।
Q. बहुपद x² − 7x + 12 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
Ans. x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4)। इसलिए शून्यक 3 और 4 हैं।
Q. यदि द्विघात समीकरण के मूल 2 और 5 हैं, तो समीकरण बनाइए।
Ans. मूलों का योग 7 और गुणनफल 10 है। समीकरण x² − 7x + 10 = 0 होगा।
Q. समीकरण x² − 6x + 9 = 0 के मूलों की प्रकृति बताइए।
Ans. विविक्तकर D = b² − 4ac = 36 − 36 = 0। इसलिए दोनों मूल वास्तविक और समान हैं।
Q. यदि 2x + 3y = 13 और x − y = 2 है, तो x तथा y ज्ञात कीजिए।
Ans. x = y + 2 रखने पर 2y + 4 + 3y = 13। इसलिए y = 9/5 तथा x = 19/5।
Q. एक समांतर श्रेणी का प्रथम पद 5 और सार्व अंतर 3 है। उसका 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Ans. a₂₀ = a + 19d = 5 + 19 × 3 = 62।
Q. समांतर श्रेणी 2, 5, 8, 11, ... के प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
Ans. S₁₅ = 15/2 × [2 × 2 + 14 × 3] = 345।
Q. यदि किसी त्रिभुज के कोणों का अनुपात 2:3:4 है, तो उसके कोण ज्ञात कीजिए।
Ans. कुल अनुपात 9 है। प्रत्येक भाग = 180°/9 = 20°। कोण 40°, 60° और 80° हैं।
Q. एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ 6 सेमी और 8 सेमी हैं। कर्ण ज्ञात कीजिए।
Ans. पाइथागोरस प्रमेय से कर्ण = √(6² + 8²) = √100 = 10 सेमी।
Q. बिंदुओं (2, 3) और (8, 11) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
Ans. d = √[(8−2)² + (11−3)²] = √(36+64) = 10 इकाई।
Q. बिंदुओं (2, 4) और (6, 8) का मध्यबिंदु ज्ञात कीजिए।
Ans. मध्यबिंदु = ((2+6)/2, (4+8)/2) = (4, 6)।
Q. यदि sin θ = 3/5 और θ न्यूनकोण है, तो cos θ ज्ञात कीजिए।
Ans. cos² θ = 1 − sin² θ = 1 − 9/25 = 16/25। अतः cos θ = 4/5।
Q. एक पासा फेंकने पर अभाज्य संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Ans. संभावित अभाज्य परिणाम 2, 3 और 5 हैं। प्रायिकता = 3/6 = 1/2।
Q. एक थैले में 4 लाल और 6 नीली गेंदें हैं। बिना देखे लाल गेंद निकलने की प्रायिकता क्या है?
Ans. कुल गेंदें = 10। लाल गेंद की प्रायिकता = 4/10 = 2/5।
Q. शब्द MATHEMATICS के अक्षरों में से एक अक्षर यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। M आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Ans. MATHEMATICS में कुल 11 अक्षर और M के 2 स्थान हैं। प्रायिकता = 2/11।