Q. बहुपद की परिभाषा दीजिए।
Ans. ऐसा बीजीय व्यंजक जिसमें चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हों, बहुपद कहलाता है। उदाहरण: 3x³ + 2x² - 5x + 7।
Q. बहुपद की घात किसे कहते हैं?
Ans. एक चर वाले अशून्य बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात को बहुपद की घात कहते हैं।
Q. रैखिक, द्विघात और त्रिघात बहुपद के उदाहरण दीजिए।
Ans. रैखिक: 2x + 3; द्विघात: x² + 2x + 1; त्रिघात: x³ - 2x + 4।
Q. बहुपद का शून्यक क्या होता है?
Ans. चर का वह मान जिसके लिए बहुपद का मान शून्य हो जाए, बहुपद का शून्यक कहलाता है।
Q. बहुपद x² - 5x + 6 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
Ans. x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3), इसलिए शून्यक 2 और 3 हैं।
Q. बहुपद के शून्यकों और गुणांकों में क्या संबंध है?
Ans. यदि ax² + bx + c के शून्यक α और β हैं, तो α + β = -b/a तथा αβ = c/a होता है।
Q. बहुपद विभाजन एल्गोरिथ्म लिखिए।
Ans. यदि p(x) और g(x) बहुपद हैं तथा g(x) शून्य बहुपद नहीं है, तो p(x) = g(x)q(x) + r(x), जहाँ r(x) शून्य है या उसकी घात g(x) की घात से कम है।
Q. शेषफल प्रमेय क्या है?
Ans. यदि p(x) को (x - a) से विभाजित किया जाए, तो शेषफल p(a) होता है।
Q. गुणनखंड प्रमेय क्या है?
Ans. यदि p(a) = 0 हो, तो (x - a), p(x) का गुणनखंड होता है।
Q. x³ - 8 का गुणनखंड कीजिए।
Ans. x³ - 8 = (x - 2)(x² + 2x + 4)।
Q. x³ + 8 का गुणनखंड कीजिए।
Ans. x³ + 8 = (x + 2)(x² - 2x + 4)।
Q. x² - 9x + 20 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
Ans. x² - 9x + 20 = (x - 4)(x - 5), अतः शून्यक 4 और 5 हैं।
Q. यदि किसी द्विघात बहुपद के शून्यक 3 और -2 हों, तो एक बहुपद लिखिए।
Ans. शून्यकों का योग 1 और गुणनफल -6 है। एक बहुपद x² - x - 6 है।
Q. बहुपद 2x² - 7x + 3 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
Ans. 2x² - 7x + 3 = (2x - 1)(x - 3), इसलिए शून्यक 1/2 और 3 हैं।
Q. बहुपद x² + 4x + 4 के शून्यक कैसे हैं?
Ans. x² + 4x + 4 = (x + 2)², इसलिए दोनों शून्यक -2 हैं और समान हैं।
Q. यदि p(x) = x² - 3x + 5 हो, तो p(2) ज्ञात कीजिए।
Ans. p(2) = 2² - 3(2) + 5 = 4 - 6 + 5 = 3।
Q. बहुपद x³ - 6x² + 11x - 6 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
Ans. इसका गुणनखंड (x - 1)(x - 2)(x - 3) है। अतः शून्यक 1, 2 और 3 हैं।
Q. बहुपद के शून्यकों की संख्या और उसकी घात में क्या संबंध है?
Ans. किसी अशून्य बहुपद के अधिकतम शून्यकों की संख्या उसकी घात के बराबर होती है।
Q. यदि p(2) = 0 हो, तो p(x) का एक गुणनखंड क्या होगा?
Ans. गुणनखंड प्रमेय के अनुसार (x - 2), p(x) का एक गुणनखंड होगा।
Q. बहुपद x² - 4x + 4 को शून्य के बराबर रखकर हल कीजिए।
Ans. x² - 4x + 4 = (x - 2)² = 0, अतः x = 2 दोहरा मूल है।